一道几何题`````有难度````

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/12 01:48:52
已知定周长的空间四边形ABCD,求对角线|AC|+|BD|的最大值,并证明。

ps：小弟急需~~~望各位大虾指教~~~~
不要想得太简单了,ok?
要是这么容易证明,我来问干什么。特别是1楼的，自己搞个长方形试试看。还易证。你易证出来看看，ok？

ps：这是清华2006年的自主招生数学题。

已知:任意四边形ABCD的周长为k, 连对角线:AC, BD.
求: 对角线|AC|+|BD|的最大值.
解:
因三角形的任一边总小于另两边之和,
故可证明: AC < k/2; BD < k/2.
即: |AC|+|BD| < k.
当四边形无限接近于一直线时,两对角线之和(|AC|+|BD|)无限接就近于 k.但总是小于四边形周长 k.

楼上说的确实也对，如果是空间的，肯定没有平面上的大，确实应该是正方形。
假设不是正方形。
设这个四边形为ABCD。
相应的固定BCD三点，调整A点为A'，因BD长是固定的，要使AC+BD最大，就是使AC最长。
因周长固定，所以A'B+A'D=固定值的
A'点在以BD点为焦点，2a=周长-CB-CD的椭圆上，要使A'C最大则以A'C为半径，以C点为圆心的圆与椭圆相切。
所以须ABCD四个点都要满足以任意一个顶点为圆心，以由该点组成的对角线为半径的圆，与相邻两点以另两边和为定长的椭圆相切。
同时满足以上条件的显然只能是正方形

很简单的了！空间四边形铺平了不就是平面的了吗？何况把它铺平又不会影响到周长而且立体的时候的对角线长总比相应的平面状态来得短（不是吗？）于是只要求平面定周长的四边形的最大对角线之和即可！平面几何题谁不会做啊！欧几里得都会做啊!不妨从特殊到一般，先求平行四边形的情形：易证当且仅当四边形是正方形时AC+BD取最大值.对一般的四边形也可以证明只有正方形满足条件！